El conjunto de Mandelbrot 1. The Mandelbrot Set Song

Estaba buscando información sobre la canción del Teorema de Tales de Les Luthiers, para cumplir lo prometido, y mientras realizaba la búsqueda a través de Google, encontré la siguiente canción sobre el Conjunto de Mandelbrot

Para que lo veáis bien, el conjunto de Mandelbrot es esta extraña figura geométrica:

La letra de la canción explica, de forma clara, como se construye este “Monstruo geométrico”, tal y como fueron llamados por Poicaré y constituye el estribillo de la canción:

“Just take a point called Z in the complex plane (Alternate: Take a point called C…)
Let Z1 be Z squared plus C (Alternate: Let Z1 be zero squared…)
And Z2 is Z1 squared plus C
And Z3 is Z2 squared plus C and so on
If the series of Zs will always stay
Close to Z instead of trend away
That point is in the Mandelbrot Set”

Traducción (Versión alterna):

“Sea un punto C en el plano complejo

sea Z1 el cuadrado de cero más C

y Z3 es Z2 al cuadrado más C y así sucesivamente

si la serie de los Zs permanece siempre

cerca de Z en lugar de alejarse,

este punto está en el conjunto de Mandelbrot”

Es decir, dado un punto en el plano complejo, construimos la siguiente sucesión:

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Si elegimos c de tal forma que la sucesión sea acotada, entonces tenemos un punto que pertenece al conjunto de Mandelbrot y lo representaremos en esta imagen como un punto de color negro.

Para otros valores de c, lo que sucede es que la serie tiende a valores muy grandes, lo que hace que la serie sea divergente y en ese caso, en nuestra imagen, aparece coloreada en blanco o azul. Esta diferencia de colores se debe a que podemos representar mediante colores la velocidad a la que diverge la serie: en el caso de que la divergencia sea lenta, el color se aproximará al blanco (los puntos que están cerca del conjunto de Mandelbrot), mientras que en el caso de que los puntos se alejen rápidamente del valor inicial el color azul será más oscuro.

Esta letra tiene muchos aspectos sobre matemáticas que será interesante tratar en post posteriores.

Por si os interesa curiosear un poco:

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